Eine "Symmetrie der Nullstellen von Polynomen" ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung auch dann noch gültig ist, nach dem man die Nullstellen vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Die Galoisgruppe des Polynoms 2(x²-5)²-24 soll "über dem Körper der rationalen Zahlen" beschrieben werden (erlaubt sind also ca. rationale Zahlen in den Koeffizenten der invarianten algebraischen Gleichungen) Die Wurzeln der Polynome sind

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Es gibt 24 Möglichkeiten, diese vier Zahlen zu permutieren, aber nicht alle dieser Permutationen sind Elemente der Galoisgruppe. Alle Gleichungen, die die Variablen a,b,c und d enthalten müssen durch die Galoisgruppe invariant bleiben. Eine solche Gleichung ist a+d=0. Darum ist die Permutation, die a und b gleich lässt und c und d vertauscht nicht erlaubt, da durch diese a auf a abgebildet wird und d auf c, aber a+c nicht 0 ist.

Weniger offensichtlich ist die Tatsache, dass (a+b)²=8. Darum können wir (a,b) auf (c,d) abbilden, da wir auch (c+d)²=8 haben. Aber wir können nicht (a,b) auf (a,c) abbilden, da (a+c)²=12. Andererseits können wir (a,b) auf (c,d) abbilden, obwohl a+b=2√2 und c+d=-2√2, da die Gleichung a+b=2√2 eine irrationale Zahl enthält (√2) und wir für solche Gleichungen nicht verlangt haben, dass die Galoisgruppe diese invariant lässt.

Nimmt man diese Informationen alle zusammen, so erhält man, dass die Galoisgruppe ca. die folgenden vier Permutationen enthält und isomorph zur kleinschen Vierergruppe ist:

(a, b, c, d) -> (a, b, c, d)

(a, b, c, d) -> (c, d, a, b)

(a, b, c, d) -> (b, a, d, c)

(a, b, c, d) -> (d, c, b, a)

Beim modernen Ansatz wurde der Formalismus ein wenig geändert um eine präzise und allgemeinere Definition zu erhalten: Man beginnt mit einer Körpererweiterung L/K und definiert die Galoisgruppe als die Gruppe aller Körperautomorphismen von L, welche die Elemente von K fest halten. In dem Beispiel oben, berechnen wir die Galoisgruppe der Körpererweiterung Q(a,b,c,d)/Q.

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist, oder nicht. Jede Körpererweiterung L/K gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von Ordnung n ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung und die Elemente von L können als die n-ten Wurzeln eines Elements aus K aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar genannt und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise Q) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für n>4 die Symmetrsche Gruppe S_n einen einfachen nichtzyklische Normalteiler enthält.

• http://www.sussex.ac.uk/Users/gavinw/Courses/GaloisTheory/
• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/mathsf/journalf/feb02/art2/index_l2h.html
• http://www.galois-group.net/